Plants

Wir können [...] nach funktionalen Erklärungen für die Dinge suchen, die uns in der Natur gefallen, etwa die Farbgebung eines Vogelkleides oder die Form eines Blattes. Es ist tröstlich, dass die Dinge eventuell nicht zufällig so sind, auch wenn wir sie nicht ganz verstehen. [ Alan Powers, Natur und Design S. 9 ]

Fractale

Eines der bekanntesten Fraktale ist die Mandelbrot-Menge, welche bereits im Jahr 1978 erstmals von Robert Brooks und Peter Matelski als Computergrafik dargestellt wurde. Namensgeber für dieses Fraktal war der Namensgeber Benoît B. Mandelbrot. Neben seinen Verdiensten in der fraktalen Geometrie war Mandelbrot maßgeblich an Lösungen mathematischer Probleme beteiligt und arbeitete in den Bereichen der theoretischen Physik, der Finanzmathematik und der Chaosforschung.

In Bezug auf der fraktalen Geometrie leistete er den wichtigen Ansatz, die fraktale Geometrie für die Beschreibung realer Objekte anzuwenden. Mandelbrot entdeckte, dass es eine Vielzahl an natürlichen Fraktalen gibt: Ob man nun die Formen von Bergen, Küstenlinien und Flüssen betrachtet, oder die Verästelung von Pflanzen, Blutgefäßen und Lungenbläschen, oder auch die Verteilung von der Sternhaufen in Galaxien, alle diese Strukturen lassen sich durch die wichtigste Eigenschaft eines Fraktals beschreiben, die Skaleninvarianz.

Skaleninvarianz beschreibt die Eigenschaft eines Zustands, Vorgangs, Verhältnisses oder einer Situation, bei dem bzw. der auch bei Veränderung der Betrachtungsgrößen (Skalierung) die Eigenart oder Charakteristik inklusive seiner Eckwerte weitestgehend exakt gleich bleibt, so dass ein Zustand der Universalität gegeben ist. [ wikipedia.de: Skaleninvarianz ]

Da auch die Mandelbrot-Menge zu den Fraktalen gehört, entspricht auch sie dieser Definition. In den Strukturen am Rand der Menge werden verkleinerte, ungefähre Kopien der gesamten Mandelbrot-Menge sichtbar. Damit zeigt sich auch eine gewisse Gemeinsamkeit zur Genetik. Die Randstrukturen der Mandelbrot- Menge, genannt Satelliten, können mit den Genen von Organismen verglichen werden. Beides enthält jeweils den Bauplan für den gesamten Organismus, bildet aber lokal nur das entsprechende Organ aus.

Beispiel zur Visualisierung der Mandelbrot-Menge:
www.openprocessing.org/sketch/101602

Selbstähnlichkeit im engeren Sinne ist die Eigenschaft von Gegenständen, Körpern, Mengen oder geometrischen Objekten, in größeren Maßstäben, d. h. bei Vergrößerung dieselben oder ähnliche Strukturen aufzuweisen wie im Anfangszustand. [ wikipedia.de: Selbstähnlichkeit ]

Fraktale sind demnach sowohl natürliche als auch künstliche Gebilde, welche als Muster ausgebildet sein können, die einen hohen Grad von Skaleninvarianz und Selbstähnlichkeit enthalten. Sie können durch verschiedene Verfahren erzeugt werden: durch die Iteration von Funktionen, durch Dynamische Systeme oder den L-Systemen.

Rekursion

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In der Programmierung gibt es zwei Möglichkeiten bestimmte Augaben zu lösen. DIe erste Variante ist das iterative, lineare Programmieren. Hierbei wird das Progamm nacheinander, in einer klaren Reihenfolge ausgeführt. Rekusive Funktionen hingegen rufen sich selber wieder auf. Generell können die meisten Probleme sowohl iterativ als auch rekursiv gelöst werden.

Der Vorteil beim rekusiven Programmieren liegt darin, dass der Programmiercode häufig um einiges kürzer ist als die iterative Lösung umd damit für den Programmierer einfacher zu lesen ist. Natürlich hat diese Arbeitsweise auch einige Nachteile. So muss zum Beispiel bei jedem Aufruf der Funktion erneut Speicher für die lokalen Variablen allokiert werden, was dazu führen kann, dass der zur Verfügung stehende Arbeitsspeicher relativ schnell ausgelastet wird. Dies wiederum kann zum Abstürzen des Programmes führen.

Exercise

Get the Code: Rekursion.pde

L-System

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Defintition L-Systeme sind grammatische Modelle zur Erstellung realisitischer Pfl anzenstrukturen. Benannt wurden das 1968 entwickelte System nach dem Botaniker Aristid Lindenmayer. Er transformierte den regelbehafteten Aufbau von Pfl anzen in ein Ersetzungssystem. In einem einfachen Beispiel wird die Funktionsweise deutlicher: Am Anfang ist das Zeichen »F« (Axiom) gegeben, welches durch die Zeichenfolge »F+F« ersetzt werden soll. Nach einer Ersetzung erhält man nun »F+F«, nach der zweiten »F+F+F+F«. Die auf diese Weise entstandene Zeichenkette wird dann als Grafi k interpretiert, wobei jedem Zeichen eine explizite Bedeutung zugeordnet ist. führen.

Regelwerk »F« Vorwärtsbewegung um eine Linienlänge & Zeichnen der Linie
»-« Drehung nach Links um gegebenen Winkel
»+« Drehung nach Rechts um gegebenen Winkel
»[« Speichern des aktuellen Zustandes (Winkel, usw.)
»]« Zurückkehren zum vorher gespeicherten Zustand

Exercise

Get the Code: lindenmayer.pde

DLA

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Defintition Aggregation ist ein Verfahren um zum Beispiel Pfl anzen- und Mineralienwachstum zu simulieren. In der Computergrafik wird dies als DLA (diffusion limited aggregation) bezeichnet. Die entstehenden Strukturen basieren auf der braunschen Molekularbewegung, der Bewegung von Partikeln und der Wahrscheinlichkeit, dass sich diese Partikel an bereits existierenden Ästen anlagern.

Beispiele Lichtenberg Figures:
Lichtenberg Figures: The Fractal Patterns of Lightning Strike Scars